Тип 13 № 15776

a) Перейдём ко всем логарифмам по основанию 4.

Заметим: $$\log_{16}(x+2) = \frac{\log_4(x+2)}{\log_4 16} = \frac{\log_4(x+2)}{2},$$ $$\log_{0{,}5}(x+2) = \frac{\log_4(x+2)}{\log_4 0{,}5} = \frac{\log_4(x+2)}{-\frac12} = -2\log_4(x+2).$$

Сделаем замену $t = \log_4(x+2)$. Тогда: $$4t^3 + 16\cdot\left(\frac{t}{2}\right)^2 + 0{,}5\cdot(-2t) = 1,$$ $$4t^3 + 4t^2 - t - 1 = 0.$$

Разложим на множители: $$4t^3 + 4t^2 - t - 1 = (4t^2 - 1)(t + 1) = (2t-1)(2t+1)(t+1).$$

Корни: $$t_1 = -1, \quad t_2 = \frac12, \quad t_3 = -\frac12.$$

Обратная замена:

1. $t = -1$: $\log_4(x+2) = -1 \; \Rightarrow \; x+2 = 4^{-1} = \frac14 \; \Rightarrow \; x_1 = -\frac74 = -1{,}75$.
2. $t = \frac12$: $\log_4(x+2) = \frac12 \; \Rightarrow \; x+2 = 4^{1/2} = 2 \; \Rightarrow \; x_2 = 0$.
3. $t = -\frac12$: $\log_4(x+2) = -\frac12 \; \Rightarrow \; x+2 = 4^{-1/2} = \frac12 \; \Rightarrow \; x_3 = -\frac32 = -1{,}5$.

Итак, корни уравнения: $$-1{,}75; \; -1{,}5; \; 0.$$

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку $[\log_{0{,}4}4; \; \log_4 0{,}4]$.

Оценим границы отрезка.

$$\log_{0{,}4}4 = \log_{\frac{2}{5}}4.$$ Так как $\left(\frac{2}{5}\right)^{-1} = 2{,}5 < 4$ и $\left(\frac{2}{5}\right)^{-1{,}5} = \left(\frac{5}{2}\right)^{1{,}5} > 4$, то $$-1{,}5 < \log_{0{,}4}4 < -1.$$ $$\log_4 0{,}4 = \log_4 \frac{2}{5}.$$ Так как $4^{-1} = 0{,}25 < 0{,}4$ и $4^{-0{,}5} = 0{,}5 > 0{,}4$, то $$-1 < \log_4 0{,}4 < -0{,}5.$$

Проверим каждый корень:

$$x_1 = -1{,}75 < \log_{0{,}4}4 \quad \Rightarrow \quad x_1 \notin [\log_{0{,}4}4; \log_4 0{,}4],$$ $$x_2 = 0 > \log_4 0{,}4 \quad \Rightarrow \quad x_2 \notin [\log_{0{,}4}4; \log_4 0{,}4],$$ $$x_3 = -1{,}5: \quad \log_{0{,}4}4 < -1{,}5 < \log_4 0{,}4 \quad \Rightarrow \quad x_3 \in [\log_{0{,}4}4; \log_4 0{,}4].$$

Ответ: а) $-1{,}75; \; -1{,}5; \; 0.$
б) $-1{,}5$