Тип 16 № 15778

Пусть первоначальная сумма вклада (в январе 2028 года) равна $S$ сотен тысяч рублей.

Процентная ставка составляет $10\%$, то есть коэффициент увеличения $k = 1.1$.

Итоговая сумма в конце 2031 года (после последнего начисления процентов):

k(k(k(kS + 4) + 4) + 4). $$k(k(k^2 S + k\cdot 4 + 4) + 4) = k(k(k^2 S + 4(k + 1)) + 4) =$$ $$= k(k^3 S + 4\cdot k(k + 1) + 4) = k^4 S + 4\cdot k^2(k + 1) + 4\cdot k.$$ $$1.1^4 S + 4(1.1^2(1.1 + 1) + 1.1).$$

Вычисляем: $$k^2 = 1.1^2 = 1.21,\quad k+1=2.1,\quad k^4 = 1.1^4 = 1.4641.$$ $$k^2(k+1) = 1.21 \cdot 2.1 = 2.541.$$ $$4(k^2(k+1) + k) = 4(2.541 + 1.1) = 4 \cdot 3.641 = 14.564.$$

Таким образом, итоговая сумма равна: $$1.4641\,S + 14.564 \quad \text{(в сотнях тысяч рублей)}.$$

Первоначальный взнос $S$ и три взноса по $4$ сотни тысяч рублей: $$S + 3 \cdot 4 = S + 12 \quad \text{(в сотнях тысяч рублей)}.$$

Проценты равны итоговая сумма минус все внесённые деньги: $$(1.4641\,S + 14.564) - (S + 12) = 0.4641\,S + 2.564 \quad \text{(в сотнях тысяч рублей)}.$$

По условию проценты должны быть более 800 000 руб, то есть более $8$ сотен тысяч рублей: $$0.4641\,S + 2.564 > 8.$$ $$0.4641\,S > 8 - 2.564$$ $$S> \frac{1359}{250}\cdot \frac{10000}{4641}$$ $$S>11\frac{1103}{1547}$$

$S$ должно быть целым числом сотен тысяч рублей, поэтому наименьшее возможное значение: $$S_{\min} = 12.$$ $12 \cdot 100\,000 = 1\,200\,000 \text{ рублей}.$

Ответ: 1,200,000