Тип 16 № 15792

Сумма кредита: $S = 2000$ тыс. руб.

В январе каждого года долг возрастает на $r\%$.

$x$ — величина, на которую уменьшается долг в июле 2030, 2031, 2022 гг.

Выплата в 4-й год: $$\dfrac{(S - 3x)r}{100} + (S - 3x) = 406$$ $$(S - 3x)\left(1 + \dfrac{r}{100}\right) = 406 \quad (1)$$

Сумма всех выплат: $$\left(\dfrac{Sr}{100} + x\right) + \left(\dfrac{(S - x)r}{100} + x\right) + \left(\dfrac{(S - 2x)r}{100} + x\right) + \left(\dfrac{(S - 3x)r}{100} + (S - 3x)\right) = 2752$$ $$\dfrac{r}{100}\left(S + (S - x) + (S - 2x) + (S - 3x)\right) + 3x + (S - 3x) = 2752$$

Выражение в первых скобках является арифметической прогрессией, тогда: $$S_n = \frac{(S + (S - 3x)) \cdot 4}{2} = 2(2S - 3x) = 4S - 6x$$

Также $3x + (S - 3x) = S$. Подставляем: $$\dfrac{r}{100}(4S - 6x) + S = 2752$$

Подставляем $S = 2000$: $$\dfrac{r}{100}(8000 - 6x) + 2000 = 2752$$ $$\dfrac{r}{100}(8000 - 6x) = 752 \quad (2)$$ Составим систему уравнений: $$\begin{cases} \dfrac{r}{100}(8000 - 6x) = 752 \\ (2000 - 3x)\left(1 + \dfrac{r}{100}\right) = 406\end{cases}$$ $$\begin{cases} 80r - 0.06rx = 752 \\ -3x + 20r - 0.03rx = -1594\end{cases}$$

Разделим: $$\begin{cases} 40r - 0.03rx = 376 \\ -3x + 20r - 0.03rx = -1594\end{cases}$$ $$\begin{cases} 0.03rx = 40r - 376 \\ -3x + 20r - 0.03rx = -1594\end{cases}$$ $$\begin{cases} 0.03rx = 40r - 376 \\ -3x - 20r + 376 = -1594\end{cases}$$ $$\begin{cases} 0.03rx = 40r - 376 \\ 3x + 20r = 1970\end{cases}$$ $$\begin{cases} x = \frac{1970-20r}{3} \\ \frac{3}{100}\cdot\frac{1970-20r}{3}\cdot r = 40r-376\end{cases}$$ $$\begin{cases} x = \frac{1970-20r}{3} \\ \frac{3}{100}\cdot\frac{1970-20r}{3}\cdot r = 40r-376 \quad(*)\end{cases}$$ $$(*)\quad 197r-2r^2=400r-3760$$ $$2r^2+203r-3760=0$$ $$r_1=-\frac{235}{2}\quad<0$$ $$r_2=16$$

Ответ: 16%