Тип 14 № 15793

а) Используем формулу произведения косинусов: $$\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}[\cos\pi + \cos x] = \frac{1}{2}[-1 + \cos x].$$

Тогда левая часть уравнения: $$3\cos^2\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\cos^2\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = 3\left[\frac{1}{2}(-1 + \cos x)\right]^2 = \frac{3}{4}(1 - 2\cos x + \cos^2 x).$$

Уравнение принимает вид: $$\frac{3}{4}(1 - 2\cos x + \cos^2 x) = \cos^4 x.$$ $$3(1 - 2\cos x + \cos^2 x) = 4\cos^4 x.$$ $$4\cos^4 x - 3\cos^2 x + 6\cos x - 3 = 0.$$

Заметим, что косинус можно переписать: $$\cos^4 x = \frac{3}{4}\cos^2\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\cos^2\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right).$$

Используем формулу $\cos^2\alpha = \frac{1+\cos2\alpha}{2}$: $$\cos^2\left(\frac{x}{2} \pm \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1 + \cos(x \pm \frac{\pi}{2})}{2}.$$

Тогда: $$\cos^2\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\cos^2\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{4}\left[1 + \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right)\right]\left[1 + \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right)\right].$$ $$= \frac{1}{4}\left[1 - \sin x\right]\left[1 + \sin x\right] = \frac{1}{4}(1 - \sin^2 x) = \frac{1}{4}\cos^2 x.$$

Таким образом, левая часть уравнения: $$3\cos^2\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\cos^2\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = 3\cdot\frac{1}{4}\cos^2 x = \frac{3}{4}\cos^2 x.$$

Уравнение принимает вид: $$\frac{3}{4}\cos^2 x = \cos^4 x.$$ $$\cos^4 x - \frac{3}{4}\cos^2 x = 0.$$ $$\cos^2 x\left(\cos^2 x - \frac{3}{4}\right) = 0.$$

1. $\cos^2 x = 0$: $$\cos x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

2. $\cos^2 x = \frac{3}{4}$: $$\cos x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[3\pi; 4\pi\right]$ с помощью тригонометрической окружности:

Для $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k$: $$3\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{7\pi}{2}$$

Для $x = \dfrac{\pi}{6} + \pi k$: $$3\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{19\pi}{6}$$

Для $x = -\dfrac{\pi}{6} + \pi k$: $$4\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{23\pi}{6}$$

{Корни, принадлежащие отрезку:} $$\frac{19\pi}{6};\; \frac{7\pi}{2};\; \frac{23\pi}{6}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k,\; k \in \mathbb{Z};\; \frac{\pi}{6} + \pi k,\; k \in \mathbb{Z};\; -\frac{\pi}{6} + \pi k,\; k \in \mathbb{Z}.$

б) $\tfrac{19\pi}{6},\; \tfrac{7\pi}{2},\; \tfrac{23\pi}{6}$