Тип 16 № 15794

Сумма кредита: $S = 1600$ тыс. руб.
В январе каждого года долг возрастает на $r\%$.
$x$ — величина, на которую уменьшается долг в июне 2029, 2030, 2031 гг.

Выплата в 4-й год: $$\dfrac{(S - 3x)r}{100} + (S - 3x) = 468$$ $$(S - 3x)\left(1 + \dfrac{r}{100}\right) = 468 \quad (1)$$

Сумма всех выплат: $$\left(\dfrac{Sr}{100} + x\right) + \left(\dfrac{(S - x)r}{100} + x\right) + \left(\dfrac{(S - 2x)r}{100} + x\right) + \left(\dfrac{(S - 3x)r}{100} + (S - 3x)\right) = 2280$$ $$\dfrac{r}{100}\left(S + (S - x) + (S - 2x) + (S - 3x)\right) + 3x + (S - 3x) = 2280$$

Выражение в первых скобках является арифметической прогрессией, тогда: $$S_n = \frac{(S + (S - 3x)) \cdot 4}{2} = 2(2S - 3x) = 4S - 6x$$

Также $3x + (S - 3x) = S$. Подставляем: $$\dfrac{r}{100}(4S - 6x) + S = 2280$$

Подставляем $S = 1600$: $$\dfrac{r}{100}(6400 - 6x) + 1600 = 2280$$ $$\dfrac{r}{100}(6400 - 6x) = 680 \quad (2)$$ Составим систему уравнений: $$\begin{cases} \dfrac{r}{100}(6400 - 6x) = 680 \\ (1600 - 3x)\left(1 + \dfrac{r}{100}\right) = 468\end{cases}$$ $$\begin{cases} 64r - 0.06rx = 680 \\ 1600 + 16r - 3x - 0.03rx = 468\end{cases}$$

Разделим первое уравнение на 2: $$\begin{cases} 32r - 0.03rx = 340 \\ 1600 + 16r - 3x - 0.03rx = 468\end{cases}$$

Выразим $0.03rx$ из первого уравнения: $$0.03rx = 32r - 340$$

Подставим во второе уравнение: $$1600 + 16r - 3x - (32r - 340) = 468$$ $$1940 - 16r - 3x = 468$$ $$-16r - 3x = 468 - 1940$$ $$3x = 1472 - 16r$$ $$x = \frac{1472 - 16r}{3}$$

Теперь подставим $x$ в уравнение $0.03rx = 32r - 340$: $$0.03r \cdot \frac{1472 - 16r}{3} = 32r - 340$$ $$0.01r (1472 - 16r) = 32r - 340$$ $$14.72r - 0.16r^2 = 32r - 340$$ $$-0.16r^2 - 17.28r + 340 = 0$$ $$r^2 + 108r - 2125 = 0$$ $$D = 108^2 + 4 \cdot 2125 = 11664 + 8500 = 20164$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{20164} = 142$$ $$r = \frac{-108 \pm 142}{2}$$ $$r_1 = \frac{34}{2} = 17$$ $$r_2 = \frac{-250}{2} = -125 \quad (\text{не подходит, так как } r > 0)$$

Ответ: 17%