Тип 13 № 15795

а) (*): $x \neq 0$.

Преобразуем логарифмы: $$\log_{0.5}^2 (x^2) = \left(\log_{1/2} x^2\right)^2 = \left(-2\log_2 |x|\right)^2 = 4(\log_2 |x|)^2.$$ $$4\log_8 (x^4) = 4 \cdot 4\log_8 |x| = 16\log_8 |x| = 16 \cdot \frac{\log_2 |x|}{3} = \frac{16}{3}\log_2 |x|.$$

Подставляем в уравнение: $$4(\log_2 |x|)^2 - \frac{16}{3}\log_2 |x| = 1.$$ $$12(\log_2 |x|)^2 - 16\log_2 |x| - 3 = 0.$$

Замена $t = \log_2 |x|$: $$12t^2 - 16t - 3 = 0.$$ $$D = 256 + 144 = 400, \quad \sqrt{D} = 20.$$ $$t = \frac{16 \pm 20}{24}.$$ $$t_1 = \frac{36}{24} = \frac{3}{2}, \quad t_2 = \frac{-4}{24} = -\frac{1}{6}.$$

Возвращаемся к $|x|$: $$\log_2 |x| = \frac{3}{2} \quad \Rightarrow \quad |x| = 2^{3/2} = 2\sqrt{2}.$$ $$\log_2 |x| = -\frac{1}{6} \quad \Rightarrow \quad |x| = 2^{-1/6} = \frac{1}{\sqrt[6]{2}} = \sqrt[6]{\frac{1}{2}} = \sqrt[6]{0,5}.$$

Таким образом: $$x = \pm 2\sqrt{2}, \quad x = \pm \sqrt[6]{0,5}.$$

б) Отберём корни на отрезке $[-0,9; 2,9]$ с помощью неравенств:

1. Для $x = -2\sqrt{2} \approx -2,83$: $$-0,9 \leq -2\sqrt{2} \leq 2,9 \quad \Rightarrow \quad -0,9 \leq -2,83 \leq 2,9 \quad \text{— неверно}.$$

2. Для $x = -\sqrt[6]{0,5} \approx -0,89$: $$-0,9 \leq -\sqrt[6]{0,5} \leq 2,9 \quad \Rightarrow \quad -0,9 \leq -0,89 \leq 2,9 \quad \text{— верно}.$$

3. Для $x = \sqrt[6]{0,5} \approx 0,89$: $$-0,9 \leq \sqrt[6]{0,5} \leq 2,9 \quad \Rightarrow \quad -0,9 \leq 0,89 \leq 2,9 \quad \text{— верно}.$$

4. Для $x = 2\sqrt{2} \approx 2,83$: $$-0,9 \leq 2\sqrt{2} \leq 2,9 \quad \Rightarrow \quad -0,9 \leq 2,83 \leq 2,9 \quad \text{— верно}.$$

{Корни, принадлежащие отрезку:} $$-\sqrt[6]{0,5},\; \sqrt[6]{0,5},\; 2\sqrt{2}.$$

Ответ: а) $-2\sqrt{2},\; -\sqrt[6]{0,5},\; \sqrt[6]{0,5},\; 2\sqrt{2}.$

{б)} $-\sqrt[6]{0,5},\; \sqrt[6]{0,5},\; 2\sqrt{2}$.