Тип 13 № 15806

а) Используем формулу приведения: $$\cos\left( 2x + \frac{\pi}{2} \right) = -\sin 2x = -2\sin x \cos x.$$

Подставляем в уравнение: $$4\sqrt{3} \cos^3 x = -2\sin x \cos x.$$

Переносим все в одну сторону и группируем: $$4\sqrt{3} \cos^3 x + 2\sin x \cos x = 0.$$ $$2\cos x \left( 2\sqrt{3} \cos^2 x + \sin x \right) = 0.$$

Получаем два случая:

1. $\cos x = 0$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

2. $2\sqrt{3} \cos^2 x + \sin x = 0$ $$2\sqrt{3} (1 - \sin^2 x) + \sin x = 0$$ $$2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \sin^2 x + \sin x = 0$$ $$2\sqrt{3} \sin^2 x - \sin x - 2\sqrt{3} = 0$$

Пусть $t = \sin x$, тогда: $$2\sqrt{3} t^2 - t - 2\sqrt{3} = 0$$ $$D = 1 + 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 1 + 48 = 49$$ $$t = \frac{1 \pm 7}{4\sqrt{3}}$$ $$t_1 = \frac{8}{4\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} > 1 \quad \text{— нет решений},$$ $$t_2 = \frac{-6}{4\sqrt{3}} = -\frac{3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Таким образом: $$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z},$$ $$x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

Итак, корни уравнения: $${\frac{\pi}{2} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z};\quad -\frac{\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z};\quad -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}}.$$

б) Отберём корни на отрезке $[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}]$ с помощью тригонометрической окружности.

$$- 3\pi + \frac{\pi}{3} = -\frac{8\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку:

$${-\frac{7\pi}{2}; -\frac{8\pi}{3}; -\frac{5\pi}{2}}.$$

Ответ: а) ${\frac{\pi}{2} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z};\quad -\frac{\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z};\quad -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}}.$

б) ${-\frac{7\pi}{2}; -\frac{8\pi}{3};-\frac{5\pi}{2}}.$