Тип 13 № 15807

а) Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу приведения: $$\cos\left(2x + \frac{3\pi}{2}\right) = \sin 2x.$$

Подставляем в исходное уравнение: $$4\sqrt{3} \sin^3 x = \sin 2x.$$ Выразим $\sin 2x = 2\sin x \cos x$: $$4\sqrt{3} \sin^3 x = 2\sin x \cos x.$$

Перенесём всё в одну сторону: $$4\sqrt{3} \sin^3 x - 2\sin x \cos x = 0.$$

Вынесем общий множитель $2\sin x$: $$2\sin x \left( 2\sqrt{3} \sin^2 x - \cos x \right) = 0.$$

Получаем два случая:

1. $\sin x = 0$ $$x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

2. $2\sqrt{3} \sin^2 x - \cos x = 0$ $$2\sqrt{3} (1 - \cos^2 x) - \cos x = 0$$ $$2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \cos^2 x - \cos x = 0$$ $$2\sqrt{3} \cos^2 x + \cos x - 2\sqrt{3} = 0$$

Пусть $t = \cos x$, тогда: $$2\sqrt{3} t^2 + t - 2\sqrt{3} = 0.$$

Дискриминант: $$D = 1 + 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 1 + 48 = 49.$$ $$t_{1,2} = \frac{-1 \pm 7}{4\sqrt{3}}.$$

Корни: $$t_1 = \frac{-1 + 7}{4\sqrt{3}} = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2},$$ $$t_2 = \frac{-1 - 7}{4\sqrt{3}} = \frac{-8}{4\sqrt{3}} = -\frac{2}{\sqrt{3}} < -1 \quad \text{— нет решений}.$$

Таким образом: $$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$ $$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

Итак, получаем корни: $${\pi k, \ k \in \mathbb{Z};\quad -\frac{\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z};\quad \frac{\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[\frac{9\pi}{2}; 6\pi\right]$ с помощью тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{6} + 6\pi = \frac{35\pi}{6}.$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$5\pi; \frac{35\pi}{6}; 6\pi.$$

Ответ: а) ${\pi k, \ k \in \mathbb{Z}; -\frac{\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}; \frac{\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}}.$

б) ${5\pi;\ \frac{35\pi}{6};\ 6\pi}.$