Тип 13 № 15808

а) Уравнение распадается на два множителя:

1. $4x^2 + 16x + 15 = 0$

   Решим квадратное уравнение: $$D = 256 - 240 = 16, \quad \sqrt{D} = 4.$$ $$x_1 = \frac{-16 + 4}{8} = \frac{-12}{8} = -1,5,$$ $$x_2 = \frac{-16 - 4}{8} = \frac{-20}{8} = -2,5.$$

2. $\cos x \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) - 0,5 = 0$

   Преобразуем второй множитель: $$\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x.$$ Получаем: $$\cos x \cdot (-\sin x) - 0,5 = 0$$ $$-\cos x \sin x = 0,5$$ $$\cos x \sin x = -0,5.$$

   Умножим обе части на 2: $$2\sin x \cos x = -1$$ $$\sin 2x = -1.$$

   Решаем: $$2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

Итак, корни уравнения: $${-2,5; \ -1,5; \ -\frac{\pi}{4} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z}}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ -2\pi; -\frac{\pi}{2} \right]$.

1. Алгебраические корни: $-2,5$ и $-1,5$.

   Проверим принадлежность отрезку $[-2\pi; -\frac{\pi}{2}]$:

   $$\begin{aligned} &-2\pi \approx -6,28, \quad -\frac{\pi}{2} \approx -1,57. \\ &-2,5 \in [-6,28; -1,57] \quad \text{— принадлежит}. \\ &-1,5 > -1,57 \quad \Rightarrow \quad -1,5 \notin [-6,28; -1,57] \quad \text{— не принадлежит}. \end{aligned}$$

   Из алгебраических корней отрезку принадлежит только $x = -2,5$.

2. Тригонометрический корень: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$.

   Найдём значения на отрезке: $$-\frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{5\pi}{4}$$

Изобразим на тригонометрической окружности:

Корни, принадлежащие отрезку: $$-2,5; -\frac{5\pi}{4}.$$

**Ответ: а)**${-2,5; -1,5; \ -\frac{\pi}{4} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z}}.$

б) ${-2,5; \ -\frac{5\pi}{4}}.$