Тип 13 № 15810

a) Запишем исходное уравнение в виде:

$$\frac{6^{2x}}{6} + \frac{2 \cdot 5^{2x}}{5} - \frac{16 \cdot 30^x}{30} = 0;$$ $$5 \cdot 6^{2x} - 16 \cdot 30^x + 12 \cdot 5^{2x} = 0;$$

$$5 \cdot \left( \frac{6}{5} \right)^{2x} - 16 \cdot \left( \frac{6}{5} \right)^x + 12 = 0;$$ $$5t^2 - 16t + 12 = 0, \quad \text{где } t = \left( \frac{6}{5} \right)^x.$$

Решаем квадратное уравнение: $$D = 256 - 240 = 16, \quad \sqrt{D} = 4.$$ $$t = \frac{16 \pm 4}{10} = \begin{cases} t_1 = \tfrac{20}{10} = 2, \\ t_2 = \tfrac{12}{10} = 1,2. \end{cases}$$

Таким образом: $$\left( \frac{6}{5} \right)^x = 2 \quad \text{или} \quad \left( \frac{6}{5} \right)^x = 1,2 = \frac{6}{5}.$$

Отсюда: $$x = \log_{\frac{6}{5}} 2 \quad \text{или} \quad x = 1.$$

б) Для $x = 1$ условие $0,5 \leq x \leq 4$ выполнено.

Для $x = \log_{\frac{6}{5}} 2$ получаем: $$\log_{\frac{6}{5}} 2 > \log_{\frac{6}{5}} \frac{6}{5} = 1$$ и $4 = \log_{\frac{6}{5}} \left( \frac{6}{5} \right)^4 = \log_{\frac{6}{5}} \frac{1296}{625} = \log_{\frac{6}{5}} 2,0736 > \log_{\frac{6}{5}} 2$, откуда $\log_{\frac{6}{5}} 2 < 4$.

Значит, для $x = \log_{\frac{6}{5}} 2$ условие $0,5 \leq x \leq 4$ также выполнено.

Ответ:
a) $1; \ \log_{\frac{6}{5}} 2;$
б) $1; \ \log_{\frac{6}{5}} 2.$