Тип 18 № 15858

Введём функцию $f(x) = a^2 - ax -2x^2 -6a + 3x +9|x|$

Исходное уравнение $f(x) = 0$.

Рассмотрим два случая раскрытия модуля:

1. $x \geq0$: $$a^2 - ax - 2x^2 - 6a + 3x + 9x = 0 \Leftrightarrow 2x^2 - 12x + ax + 6a - a^2 = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 2x^2 + x(a - 12) + 6a - a^2 = 0$$

2. $x < 0$: $$a^2 - ax - 2x^2 - 6a + 3x - 9x = 0 \Leftrightarrow 2x^2 + 6x + ax+ 6a - a^2 = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 2x^2 + x(a + 6) + 6a- a^2 = 0$$

Исходное уравнение будет иметь ровно 4 различных решения тогда, когда оба полученных уравнения имеют ровно 2 решения.

Рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

1. $2x^2 + x(a - 12) + 6a - a^2 = 0$, $x \geq 0$.

$$\begin{cases} D > 0\\ x_{\text{в}} > 0\\ f(0) \geq 0 \end{cases}$$ Решая данную систему, получаем: $$a \in [0; 4) \cup (4; 6]$$

1. $2x^2 + x(a + 6) + 6a- a^2 = 0$.

Чтобы данное уравнение имело ровно 2 различных отрицательных корня, должны выполняться следующие условия:

$$\begin{cases} D > 0\\ x_{\text{в}} < 0\\ f(0) > 0 \end{cases}$$

Решая данную систему, получаем: $$a \in (0; 2) \cup (2; 6)$$

Пересекаем полученные решения: $$a \in (0; 2) \cup (2; 4) \cup (4; 6)$$

Ответ: $(0; 2) \cup (2; 4) \cup (4; 6)$