Тип 18 № 15859

Сделаем замену $\cos^2x = t$.

Проанализируем замену. Так как $\cos x \in [-1; 1] \Rightarrow \cos^2x \in [0; 1] \Rightarrow t \in [0; 1]$

Получаем уравнение: $$t^2 - (a - 2)t - 3(a + 1) = 0$$

Найдём корни уравнения при помощи теоремы Виета:

$$\left[ \begin{aligned} &t_1+t_2=a-2\\ &t_1\cdot t_2 = -3(a+1)\\ \end{aligned}\right.$$ $$\left[ \begin{aligned} &t_1=-3 \quad - \text{не на } [0;1]\\ &t_2 = a+1\\ \end{aligned}\right.$$ Подставим $t_2$ в ограничение: $$0\leq a+1\leq 1$$ $$-1\leq a\leq 0$$

Ответ: $[-1; 0]$