Тип 18 № 15886

Сделаем замену $$t=2^{\sin x}.$$ Так как $\sin x\in[-1;1]$, то $$t\in\left[\frac12;2\right].$$

Следовательно, необходимо найти такие значения $a$, при которых уравнение относительно $t$ имеет хотя бы одно решение из отрезка $$\left[\frac12;2\right].$$

Приведём подобные слагаемые: $$(2^{\sin x}-1)a^2-(3\cdot2^{\sin x}-1)a+2^{\sin x+1}=0$$ $$a^2t-a^2-3at+a+2t=0,$$ $$t(a^2-3a+2)=a^2-a,$$ $$t(a-1)(a-2)=a(a-1).$$

Рассмотрим возможные случаи.

1) $a=1$.

Тогда уравнение принимает вид $$0=0,$$ что верно при любых допустимых $t$. Следовательно, $a=1$ подходит.

2) $a=2$.

Тогда получаем $$0=2,$$ что невозможно. Значит, $a=2$ не подходит.

3) $a\neq1$, $a\neq2$.

Тогда $$t=\frac{a}{a-2}.$$

Требуется, чтобы $$\frac12\le \frac{a}{a-2}\le 2.$$

Решая данное двойное неравенство, получаем $$a\in(-\infty;-2]\cup[4;+\infty).$$

Учитывая, что случай $a=1$ также подходит, объединяя все значения, окончательно получаем

Ответ: $$a\in(-\infty;-2]\cup\{1\}\cup[4;+\infty).$$