Тип 18 № 16075

$$4\cos^2x-3\cos x-a\cdot \cos x-2.5(2\cos^2x-1)+1.5=0$$ $$-\cos^2x-(3+a)\cdot \cos x+4=0$$ $$\cos^2x+(3+a)\cdot \cos x-4=0$$ Замена: $$\cos x=t, \quad \cos x \in [-1; 1] \Rightarrow -1\leq t \leq 1$$ $$f(t) =t^2+(3+a)t-4$$ Исходное уравнение: $$f(t) = 0$$

Графиком функции $f(t)$ является парабола с ветвями, направленными вверх.

Т.к. ветви параболы всегда направлены вверх, а $f(0)=-4$, то уравнение имеет хотя бы один корень на $[-1;1]$ при: $$\left[ \begin{aligned} &f(-1)\ge 0\\ &f(1)\ge 0\\ \end{aligned}\right.$$ $$\left[ \begin{aligned} &1-3-a-4\ge 0\\ &1+3+a-4\ge 0\\ \end{aligned}\right.$$ $$\left[ \begin{aligned} &a\leq -6\\ &a \ge 0\\ \end{aligned}\right.$$

Ответ: $a\in (-\infty;-6] \cup [0;+\infty)$