Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
a(x−x5)2+4(x−x5)−6a+13=0
имеет ровно два различных решения.
Источник: ЕГЭ 2025. Дальний Восток.
Решение:
Сделаем замену t=x−x5 и проанализируем её:
xx2−tx−5=0
Найдём, сколько решений имеет данное уравнение:
D=t2+20>0
Значит, любое значение t=x−x5 будет давать 2 решения для исходного уравнения.
at2+4t−6a+13=0
Рассмотрим подходящие нам случаи:
Исходное уравнение линейное.
Исходное уравнение квадратное и имеет ровно 1 корень.
Рассмотрим случаи по отдельности:
a=04t+13=0⇔t=−413
Значит, a=0 мы берём в ответ.
D=0 – уравнение квадратное и имеет ровно 1 решение:
D=16−4a(−6a+13)=0⇔4+6a2−13a=0⇔6a2−13a+4=0D=169−24⋅4=169−96=73a=1213±73
Объединяя оба случая, получаем:
a∈{1213−73;0;1213+73}