Тип 16 № 16554

Пусть на первом заводе рабочие производят $x$ единиц товаров, а трудятся $x^2$ часов. На втором заводе рабочие производят $y$ единиц товаров, а трудятся $y^2$ часов.

Тогда рабочим на 1 заводе выплатят суммарно за неделю $500x^2$ рублей, а на втором заводе $300y^2$ рублей.

Составим функцию количества товаров произведённых на всех заводах за неделю: $$f(x, y) = x + y$$ Так как Вадим готов максимально выделять $1200000$ рублей: $$500x^2 + 300y^2 = 1200000 \Leftrightarrow 5x^2 + 3y^2 = 12000 \Leftrightarrow y = \sqrt{\frac{12000 - 5x^2}{3}}$$ Подставим $y$ в $f(x, y)$: $$f(x, y) = x + \sqrt{\frac{12000 - 5x^2}{3}} = f(x)$$ Найдём, какое максимальное количество товаров можно произвести на первом заводе за неделю. Для этого найдём точку максимума данной функции: $$f'(x) = 1 - \frac{10x}{6\sqrt{\frac{12000 - 5x^2}{3}}} = 0 \Leftrightarrow 6\sqrt{\frac{12000 - 5x^2}{3}} = 10x\Leftrightarrow 36\cdot\frac{12000 - 5x^2}{3} = 100x^2 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 144000 - 60x^2 = 100x^2 \Leftrightarrow 160x^2 = 144000 \Leftrightarrow x^2 = 900 \Rightarrow x = 30$$

Значит, на первом заводе можно произвести максимум 30 единиц товаров в неделю.

Найдём, какое максимальное количество товаров можно произвести на втором заводе за неделю: $$500\cdot900 + 300y^2 = 1200000 \Leftrightarrow 4500 + 3y^2 = 12000 \Leftrightarrow y^2 = 2500 \Rightarrow y = 50$$

Значит, максимально за неделю можно произвести: $$30 + 50 = 80$$ единиц товаров.

Ответ: $80$