Тип 18 № 17065

Рассмотрим первое уравнение. Оно задаёт окружность с центром в точке $(a;0)$ и радиусом $1$. То есть семейство окружностей, центры которых находятся на оси ОХ.

Второе уравнение образует график модуля (галочка) с вершиной в точке $(3;\frac{1}{2})$ т.к. $$\left[\begin{aligned} &\begin{cases} x-3\ge 0\\ y=x-3+\frac{1}{2} \end{cases}\\ &\begin{cases} x-3 <0\\ y=-x+3+\frac{1}{2} \end{cases}\\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x\ge 3\\ y=x-2.5 \end{cases}\\ &\begin{cases} x<3\\ y=-x+3.5 \end{cases}\\ \end{aligned}\right.$$

Графики имеют ровно одно пересечение только в двух точках касания прямых и окружности. Найдём их, используя формулу расстояния от точки до прямой (радиуса окружности): $$r=\frac{\mid Ax_0+By_0+C \mid}{\sqrt{A^2+B^2}}$$ Где: $$Ax+By+C=0 - \textit{уравнение прямой}$$ $$(x_0;y_0) - \textit{координаты центра окружности}$$ Подставим числа: $$\left[\begin{aligned} 1=\frac{\mid -a-1\cdot 0+3.5\mid}{\sqrt{1^2+1^2}}\\ \\ 1=\frac{\mid a-1\cdot 0-2.5\mid}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} \end{aligned}\right.$$ $$\left[\begin{aligned} 1=\frac{\mid 3.5-a\mid}{\sqrt{2}}\\ \\ 1=\frac{\mid a-2.5\mid}{\sqrt{2}} \end{aligned}\right.$$ $$\left[\begin{aligned} 3.5-a=\sqrt{2}\\ a-3.5=\sqrt{2}\\ a-2.5=\sqrt{2}\\ 2.5-a=\sqrt{2} \end{aligned}\right.$$ $$\left[\begin{aligned} a=3.5-\sqrt{2}\\ a=3.5+\sqrt{2}\\ a=\sqrt{2}+2.5\\ a=2.5-\sqrt{2} \end{aligned}\right.$$ Выберем подходящие значения: от первого уравнения (левая ветвь галочки модуля) возьмём наименьшее, потому что наибольшее будет с точкой касания на продолжении прямой вниз, а от второго (правая ветвь галочки модуля) наибольшее аналогично. Таким образом всё уравнение имеет ровно одно решение когда: $$a=3.5-\sqrt{2} \quad \textit{и} \quad a=\sqrt{2}+2.5$$

Ответ: $a\in \{3.5-\sqrt{2}; \sqrt{2}+2.5\}$