Тип 18 № 17066

Преобразуем первое уравнение: $$x^2 + y^2 - 2a(x + 2y) = 5 - 5a^2$$ $$\Longleftrightarrow x^2 + y^2 - 2ax - 4ay + a^2 + 4a^2 = 5$$ $$\Longleftrightarrow (x - a)^2 + (y - 2a)^2 = 5.$$

Итак, первое уравнение задаёт окружность с центром $O(a; 2a)$ и радиусом $\sqrt{5}$. Найдём траекторию центра окружности: $$\begin{cases} x = a, \\ y = 2a \end{cases} \quad \Longrightarrow \quad y = 2x.$$

Таким образом, центр окружности движется по прямой $y = 2x$, а радиус остаётся равным $\sqrt{5}$. Второе уравнение системы задаёт прямую $$y = -\dfrac{1}{2}x.$$

Построим соответствующие графики

Нас интересуют такие значения $a$, при которых окружность пересекает прямую $y = -\dfrac{1}{2}x$. Ключевыми положениями на рисунке будут случаи касания окружности этой прямой.

Заметим, что прямые $y = 2x$ и $y = -\dfrac{1}{2}x$ перпендикулярны. Следовательно, окружность касается прямой $y = -\dfrac{1}{2}x$ тогда и только тогда, когда её центр находится на расстоянии, равном радиусу, от точки пересечения этих прямых — начала координат.

Изобразим случай касания на рисунке: начало координат обозначим через $A$, центры окружностей в граничных случаях — через $O_1$ и $O_2$.

Пусть $$O_1(a_1; 2a_1), \qquad O_2(a_2; 2a_2),$$ причём $$AO_1 = AO_2 = \sqrt{5}.$$ Очевидно, что $a_1 > 0$, а $a_2 = -a_1$.

Найдём $a_1$ из условия расстояния: $$\sqrt{5} = \rho(O_1; A) = \sqrt{(a_1 - 0)^2 + (2a_1 - 0)^2} = \sqrt{5a_1^2}$$ $$\Longleftrightarrow \quad a_1 = \pm 1.$$

Так как $a_1 > 0$, получаем $$a_1 = 1, \qquad a_2 = -1.$$

Следовательно, при всех $a \in [-1;1]$ (то есть когда центр лежит на отрезке $O_1O_2$, что видно на рисунке) окружность имеет общие точки с прямой $y = -\dfrac{1}{2}x$. Если же $|a| > 1$, пересечений нет.

$$\boxed{a \in [-1;1].}$$