Тип 18 № 17067

Преобразуем систему: $$\begin{cases} \left[\begin{aligned} &x^2 + y^2 - 2y = 0\\ &y = -0,5x \end{aligned}\right. \\ y = 2x + 2a\\ y \geq -0,5x \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{aligned} &x^2 + (y - 1)^2 = 1\\ &y = -0,5x \end{aligned}\right. \\ y = 2x + 2a\\ y \geq -0,5x \end{cases}$$

Первое уравнение системы задаёт окружность с центром в точке $(0, 1)$, второе – прямую $y = -0,5x$, а третье – прямую, которая перемещается вверх или вниз в зависимости от параметра $2a$. По условию $y \geq -0,5x$ система имеет смысл тогда, когда все графики находятся выще прямой $y = -0,5x$.

Исходная система будет иметь ровно два различных решения тогда, когда прямая $y = 2x + 2a$ будет пересекать окружность и прямую $y = -0,5x$ в одной точке.

Построим графики и отметим граничные случаи:

Запишем промежуточный ответ: $$a \in \left\{\boxed{1}\right\} \cup \left[\boxed{2}; \boxed{3}\right] \cup \left\{\boxed{4}\right\}$$

Рассмотрим случаи. Найдём касания прямой $y = 2x + 2a$ и окружности (случаи $1$ и $4$):

$$y - 2x - 2a = 0$$

$$\rho = 1 = \frac{|2\cdot0 -1 + 2a|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} \Leftrightarrow \sqrt5 = |1 + 2a| \Leftrightarrow a = \frac{1 \pm \sqrt5}{2}$$

В случае $2$ прямая $y = 2x + 2a$ пересекает точку $(0,0) \Rightarrow a = 0$

В случае $3$ прямая $y = 2a + 2x $ пересекает общую точку пересечения окружности $x^2 + (y - 1)^2 = 1$. $$\begin{cases} x^2 + (y - 1)^2 = 1\\ y = -0,5x \end{cases} \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x = 0\\ y = 0 \end{cases}\\ &\begin{cases} x = -\tfrac{4}{5}\\ y = \frac{2}{5} \end{cases} \end{aligned}\right.$$

Нам подходит точка $(-0,8; 0,4)$.

Подставим координаты точки в уравнение прямой $y = 2a + 2x$: $$0,4 = 2a - 1,6 \Leftrightarrow a = 1$$

Получаем ответ: $$a \in \left\{\frac{1 - \sqrt5}{2}\right\} \cup [0; 1] \cup \left\{\frac{1 + \sqrt5}{2}\right\}$$

Ответ: $\left\{\frac{1 - \sqrt5}{2}\right\} \cup [0; 1] \cup \left\{\frac{1 + \sqrt5}{2}\right\}$