Тип 18 № 17515

Положим $x^2=t$. Тогда:

• при $t<0$ решений по $x$ нет;
• при $t=0$ получаем одно решение $x=0$;
• при $t>0$ получаем два различных решения $x$.

Тогда система принимает вид $$\begin{cases} t^2+y^2=a^2,\\ t+y=\lvert a+1\rvert. \end{cases}$$

Первое уравнение задаёт либо точку, либо окружность. Случай с точкой нам не подходит, потому что тогда система максимум может иметь одно решение.

Значит, первое уравнение задаёт окружность радиуса $R=\lvert a\rvert$, а второе — прямую. Окружность и прямая могут иметь $0$, $1$ или $2$ точки пересечения. Следовательно, чтобы после обратной замены $t=x^2$ получить четыре решения, необходимо, чтобы прямая имела с окружностью две точки пересечения, причём их абсциссы $t$ были положительными (тогда каждому $t>0$ соответствуют два значения $x$).

Рассмотрим рисунок: подходящими будут те прямые, которые расположены между $AB$ и $CD$.

Выше прямой $AB$: $$\lvert a+1\rvert>EA=R=\lvert a\rvert;$$ ниже прямой $CD$: $$\lvert a+1\rvert<EC=CD:\ \sqrt2=2EF:\ \sqrt2=\sqrt2R=\sqrt2\lvert a\rvert.$$ Следовательно, $$\lvert a\rvert<\lvert a+1\rvert<\sqrt2\lvert a\rvert \Longleftrightarrow \begin{cases} \lvert a+1\rvert>\lvert a\rvert,\\ \lvert a+1\rvert<\sqrt2\lvert a\rvert \end{cases} \Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a<-1\\ -a-1>-a\\ -a-1<-\sqrt2a\\[2mm] -1\le a\le 0\\ a+1>-a\\ a+1<-\sqrt2a\\[2mm] a>0\\ a+1>a\\ a+1<\sqrt2a \end{array} \right.$$

Получаем $$a\in\left(-\frac12;\,-\frac{1}{\sqrt2+1}\right)\cup \left(\frac{1}{\sqrt2-1};+\infty\right).$$

Ответ: $$a\in(-0{,}5;\,1-\sqrt2)\cup(1+\sqrt2;\,+\infty).$$