Тип 13 № 17656

Преобразуем исходное уравнение:

$$3\cos^3x - 3\sin x \cdot (-\cos x)^2 = \sin^2x\cdot\cos x - \sin^3x \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 3\cos^3x - 3\sin x \cdot (-\cos x)^2 = \sin^2x\cdot\cos x - \sin^3x \Leftrightarrow$$ $$\sin^3x -\sin^2x\cdot\cos x - 3\sin x \cdot\cos^2x + 3\cos^3x = 0$$

Разделим обе части уравнения на $\cos ^3 x \neq 0$

Получаем:

$$\tg^3 x - \tg^2 x - 3\tg x + 3 = 0$$

$\left(*\right) \cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z;$

Сделаем замену $t = \tg x$: $$t^3 - t^2 - 3t + 3 = 0$$ $$(t^3 - t^2) - (3t - 3) = 0$$ $$t^2(t - 1) - 3(t - 1) = 0$$ $$(t - 1)(t^2 - 3) = 0$$

$$\tg x = 1 \quad \text{или} \quad \tg x = \pm\sqrt{3}$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \pi k \quad \text{или} \quad x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Отберём корни на промежутке $\left[ \frac{3\pi}{2}; 3\pi \right]$:

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$$ $$-\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$$ $$-\frac{\pi}{3} + 3\pi = \frac{8\pi}{3}$$ $$\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$$

Корни, принадлежащие промежутку: $$\frac{5\pi}{3};\frac{9\pi}{4};\frac{7\pi}{3};\frac{8\pi}{3}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{4} + \pi k;\pm\frac{\pi}{3} + \pi k; k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{5\pi}{3};\frac{9\pi}{4};\frac{7\pi}{3};\frac{8\pi}{3}$