Тип 18 № 17764

Решение.

Решим систему графически. В системе координат $xOy$ графиком первого уравнения является ломаная — совокупность двух лучей, выходящих из точки $(-5;\,0)$ с угловым коэффициентом $k = ±\dfrac{1}{3}$. Графиком второго уравнения является семейство окружностей с центром в точке $(a;\,0)$ и радиусом 2. В зависимости от значения параметра $a$ окружность и ломаная могут не иметь общих точек или иметь одну, две, три или четыре общие точки.

Система имеет четыре решения при $a_1 < a < a_2$, где $a_1$ — абсцисса центра окружности, касающейся ломаной; $a_2$ — абсцисса центра окружности, проходящей через точку $(-5;\,0)$ и имеющей с ломаной три общих точки. Очевидно, что $a_2 = -7$. Найдём $a_1$, используя формулу расстояния от точки до прямой. Расстояние от точки $(a_1;\,0)$ до прямой $x + 3y + 5 = 0$ должно равняться радиусу окружности:

$$\frac{|a_1 + 3\cdot0 + 5|}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = 2 \;\Longleftrightarrow\; \frac{|a_1 + 5|}{\sqrt{10}} = 2 \;\Longleftrightarrow\; |a_1 + 5| = 2\sqrt{10} \;\Longleftrightarrow\; a_1 = -5 \pm 2\sqrt{10}.$$

По смыслу задачи, $a_1 < -5$, поэтому $a_1 = -5 - 2\sqrt{10}$.

Тем самым система имеет четыре решения при $-5 - 2\sqrt{10} < a < -7$.

Ответ: $\left(-5 - 2\sqrt{10};\,-7\right)$.