Тип 18 № 17765

Решение.

Рассмотрим первое уравнение системы. Заметим, что параметр $a$ неотрицателен, так как иначе сумма модулей была бы отрицательным числом, чего быть не может. При $a = 0$ получаем $x = y = 0$, что противоречит второму уравнению системы. Уравнение $|x| + |y| = a$ при $a > 0$ имеет вид квадрата с вершинами на координатных осях и диагоналями, равными $2a$. График второго уравнения получается из графика функции $y = \sqrt{x}$, сдвигом на девять единиц влево вдоль оси абсцисс.

При $a = 3$ система имеет ровно одно решение, а при $a = 9$ — 3 решения. Найдём, при каком значении параметра график корня касается стороны квадрата. Для этого определим, при каких параметрах $a$ уравнение $|x| + \sqrt{x + 9} = a$ имеет единственное решение. Имеем: $$\begin{cases} x \ge 0,\\[2pt] |x| + \sqrt{x + 9} = a \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x \ge 0,\\[2pt] x + \sqrt{x + 9} = a, \end{cases} \qquad \begin{cases} x < 0,\\[2pt] |x| + \sqrt{x + 9} = a \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x < 0,\\[2pt] -x + \sqrt{x + 9} = a. \end{cases}$$

$$\begin{cases} x \ge 0,\\[2pt] a - x \ge 0,\\[2pt] x^2 - x(2a + 1) + a^2 - 9 = 0, \end{cases} \qquad \begin{cases} x < 0,\\[2pt] a + x > 0,\\[2pt] x^2 + x(2a - 1) + a^2 - 9 = 0. \end{cases}$$

Уравнение $x^2 - x(2a + 1) + a^2 - 9 = 0$ имеет единственное решение в том случае, если дискриминант равен нулю. Решим уравнение $D = 0$: $$(2a + 1)^2 - 4(a^2 - 9) = 0 \Longleftrightarrow 4a + 37 = 0 \Longleftrightarrow a = -9{,}25.$$

Уравнение $x^2 + x(2a - 1) + a^2 - 9 = 0$ имеет единственное решение в том случае, если дискриминант равен нулю. Решим уравнение $D = 0$: $$(2a - 1)^2 - 4(a^2 - 9) = 0 \Longleftrightarrow -4a + 37 = 0 \Longleftrightarrow a = 9{,}25.$$

Учитывая, что $a > 0$, получаем, что графики уравнений $|x| + |y| = a$ и $y = \sqrt{x + 9}$ касаются при $a = 9{,}25$. При найденном значении $x = \dfrac{2a - 1}{2} = 8{,}75$, эта точка действительно лежит на стороне квадрата. Следовательно, система уравнений имеет два решения при $3 < a < 9$ и $a = 9{,}25$.

Ответ: $(3; 9) \cup \{9{,}25\}$.