Тип 18 № 17766

Рассмотрим первое уравнение системы. Заметим, что параметр $a$ неотрицателен, так как иначе сумма модулей была бы отрицательным числом, чего быть не может. При $a = 0$ получаем $x = y = 0$, что противоречит второму уравнению системы. При $a > 0$ уравнение $|x| + |y| = a$ задаёт на координатной плоскости квадрат с вершинами на координатных осях и диагоналями, равными $2a$. График второго уравнения получается из графика функции $y = \sqrt{x}$, сдвигом на четыре единицы влево вдоль оси абсцисс.

Из построенного рисунка видно, что при $a = 2$ система имеет ровно одно решение, а при $a = 4$ — три решения. Найдём, при каком значении параметра график корня касается стороны квадрата. Для этого определим, при каких $a$ уравнение $|x| + \sqrt{x + 4} = a$ имеет единственное решение. Имеем: $$|x| + \sqrt{x + 4} = a \Longleftrightarrow \begin{cases} x \ge 0,\\ \sqrt{x + 4} = a - x, \end{cases} \quad \begin{cases} x < 0,\\ \sqrt{x + 4} = a + x. \end{cases}$$

$$\begin{cases} x \ge 0,\\ a - x \ge 0,\\ x^2 - x(2a + 1) + a^2 - 4 = 0, \end{cases} \quad \begin{cases} x < 0,\\ a + x \ge 0,\\ x^2 + x(2a - 1) + a^2 - 4 = 0. \end{cases}$$

Уравнение $x^2 - x(2a + 1) + a^2 - 4 = 0$ имеет единственное решение в том случае, если дискриминант равен нулю. Решим уравнение $D = 0$: $$(2a + 1)^2 - 4(a^2 - 4) = 0 \Longleftrightarrow 4a + 17 = 0 \Longleftrightarrow a = -4{,}25.$$

Уравнение $x^2 + x(2a - 1) + a^2 - 4 = 0$ имеет единственное решение в том случае, если дискриминант равен нулю. Решим уравнение $D = 0$: $$(2a - 1)^2 - 4(a^2 - 4) = 0 \Longleftrightarrow 4a + 17 = 0 \Longleftrightarrow a = 4{,}25.$$

Учитывая, что $a > 0$, получаем, что графики уравнений $|x| + |y| = a$ и $y = \sqrt{x + 4}$ касаются при $a = 4{,}25$. При найденном значении абсциссой точки касания является $x = \dfrac{2a - 1}{2} = 3{,}75$, эта точка действительно лежит на стороне квадрата. Следовательно, система уравнений имеет два решения при $2 < a < 4$ и $a = 4{,}25$.

Ответ: $(2; 4) \cup \{4{,}25\}$.