Тип 18 № 17914

Переформулируем условие задачи. Нам нужно, чтобы пересечение решений неравенств было нулевым.

То есть система $$\begin{cases} (x^2 - a)(a - 2x - 8) > 0\\ x^2 \leq 4 \end{cases}$$ не должна иметь решения.

Преобразуем систему: $$\begin{cases} \left[\begin{aligned} &\begin{cases} a < x^2\\ a > 2x + 8 \end{cases}\\ &\begin{cases} a > x^2\\ a < 2x + 8 \end{cases} \end{aligned}\right.\\ -2\leq x \leq 2 \end{cases}$$

Построим множества решений системы в координатах $xOa$.

Каждая точка множества $S$, которое ограничено кривыми $a = 2x + 8, a = x^2, x = 2$, является решением системы неравенств.

В данной системе координат значение параметра представляет собой горизонтальную прямую-анализатор. Каждое пересечение такой прямой с любой точкой множества $S$ даёт решение системы. Значит, нам подходят только те случаи, при которых прямая-анализатор не имеет общих точек с множеством $S$.

То есть, при $a \in (-\infty; (A)] \cup [(B); +\infty)$ система уравнений не имеет решений.

Ордината (а значит и значение параметра $a$) в точке $A$ равна $0$.

Найдём координаты точки $B$. Точка $B$ – точка пересечения прямой $a = 2x + 8$ и прямой $x = 2$.

Найдём значение параметра (ординату точки $B$): $$a = 2\cdot2 + 8 = 12$$

Значит, итоговый ответ: $$a \in (-\infty; 0] \cup [12; +\infty)$$

Ответ: $(-\infty; 0] \cup [12; +\infty)$