Тип 18 № 17999

Преобразуем исходное неравенство: $$\left|\frac{x^2+x-2a}{x+a}-1\right|\le 2 \;\Longleftrightarrow\; \left|\frac{x^2-3a}{x+a}\right|\le 2 \;\Longleftrightarrow\; \begin{cases} |x^2-3a|\le 2|x+a|,\\ x\ne -a, \end{cases}$$ $$\Longleftrightarrow\; \begin{cases} (x^2-3a)^2-4(x+a)^2\le 0,\\ x\ne -a, \end{cases} \;\Longleftrightarrow\; \begin{cases} (x^2-2x-5a)(x^2+2x-a)\le 0,\\ x\ne -a. \end{cases}$$

В системе координат $xOa$ решением системы являются координаты точек, выделенных оранжевым цветом.

С помощью графика найдём решения неравенства на интервале $(1;2)$:

1. При $a\le -\frac{1}{5}$ неравенство не имеет решений.

2. При $-\frac{1}{5}<a<0$ решением являются все точки, лежащие правее прямой $x=1$, но левее правой ветви параболы

$$a=\frac{1}{5}(x^2-2x),$$ то есть

$$1<x\le 1+\sqrt{1+5a}.$$

1. При $0\le a\le 3$ решением являются все точки между прямыми $x=1$ и $x=2$, то есть

$$1<x<2.$$

1. При $3<a<8$ решением являются все точки, лежащие правее правой ветви параболы $a=x^2+2x$, и левее прямой $x=2$, то есть

$$-1+\sqrt{1+a}\le x<2.$$

1. При $a\ge 8$ неравенство не имеет решений.

Ответ:

$$\left(-\infty;-\frac{1}{5}\right]\cup[8;+\infty).$$