Тип 18 № 18000

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x_0;a_0)$ принадлежит этому множеству $S$, то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a_0$, то $x_0$ будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения параметра $a$, при каждом из которых две точки вида $(x;a_0)$, где $x\in\mathbb{R}$, принадлежат множеству решений $S$, изображённому на плоскости $xOa$. Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a=a_0$ имеет две точки пересечения с множеством $S$.

Наше уравнение равносильно

$$\begin{cases} a=x,\\ a=-\frac{1}{3}(x-3)^2+\frac{7}{3}, \end{cases} \qquad \left[ \begin{array}{l} a>x,\\ a=(x-1)^2+1 \end{array} \right.$$

Пусть $S$ — множество, задающееся полученной совокупностью. Тогда $S$ — это объединение двух частей парабол (голубой и зелёной), изображённых на рисунке.

Заметим, что параболы пересекаются в двух точках $A$ и $B$, расположенных на прямой $a=x$: $A(1;1)$, $B(2;2)$.

Таким образом, от обеих парабол нужно взять части, соответствующие $x\le 1$ или $x\ge 2$.

Также на рисунке розовым цветом обозначена область, в которой может находиться прямая $a=a_0$, если требуется две точки пересечения этой прямой с множеством $S$.

Таким образом, нам подходят все прямые, лежащие ниже прямой, проходящей через $B$, и лежащие выше прямой, проходящей через $C$.

Точка $C$ имеет координаты $\left(3;\frac{7}{3}\right)$. Следовательно,

$$a<2 \qquad \text{или} \qquad a>\frac{7}{3}.$$

Ответ:

$$a\in(-\infty;2)\cup\left(\frac{7}{3};+\infty\right).$$