Тип 18 № 18001

Перепишем исходную систему в виде

$$\begin{cases} a\le -x^2-2x,\\ a\ge \dfrac{x^2-4x}{6}. \end{cases}$$

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x_0;a_0)$ принадлежит этому множеству, $S$, то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a_0$, то $x_0$ будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения параметра $a$, при каждом из которых ровно одна из точек вида $(x;a_0)$, где $x\in\mathbb{R}$, принадлежит множеству решений $S$, изображённому на плоскости $xOa$. Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a=a_0$ имеет ровно одну точку пересечения с множеством $S$.

Построим на плоскости множество решений каждого из неравенств системы, а затем найдём пересечение этих множеств.

• Множеством решений первого неравенства являются точки, лежащие не выше параболы

$$f(x)=-x^2-2x.$$

• Множеством решений второго неравенства являются точки, лежащие не ниже параболы

$$g(x)=\frac{x^2-4x}{6}.$$

Убедимся, что вершина параболы $f$ лежит выше параболы $g$. Её координаты равны

$$x_1=\frac{-2}{-2\cdot(-1)}=-1; \qquad a_1=f(-1)=1.$$

Так как

$$g(-1)=\frac{5}{6}<1=f(-1),$$ то вершина параболы $f$ действительно лежит выше параболы $g$.

Построим графики.

Множеством $S$ решений системы является пересечение внутренних областей парабол $f$ и $g$, включая границы.

Только горизонтальные прямые $l_1\colon a=0$ и $l_2\colon a=1$ будут иметь с $S$ ровно одну точку пересечения. При этом $l_2$ — касательная в вершине параболы $f$, а не прямая, проходящая через эту точку решения парабол.

Любая горизонтальная прямая ниже $l_1$ или выше $l_2$ не будет иметь пересечений с множеством $S$.

Прямые между $l_1$ и $l_2$ будут иметь больше одной точки пересечения с $S$.

Таким образом, исходная система имеет единственное решение при

$$a\in\{0;1\}.$$

Ответ:

$$a\in\{0;1\}.$$