Тип 18 № 18152

Заметим, что второе уравнение системы задает окружность, которая симметрична относительно оси ординат, так как при замене $x$ на $-x$ уравнение не меняется. При этом данная окружность имеет радиус $1$, следовательно, она определена при $x \in [-1;1]$.

Рассмотрим первое уравнение системы. Заметим, что и график этого уравнения также симметричен относительно оси ординат, так как при замене $x$ на $-x$ уравнение не меняется.

Из вышесказанного следует, что если график первого уравнения имеет точку пересечения с окружностью при $x \in (0;1]$, то будет существовать еще одна точка пересечения при $x \in [-1;0)$. Значит, существует единственный случай, когда система может иметь единственное решение: если точка пересечения графиков имеет абсциссу $x=0$.

Подставим данное значение в систему: $$\begin{cases} 8\cdot 2^{|0|}+7\cdot |0|+1=8y+7\cdot 0^2+a,\\ 0^2+y^2=1 \end{cases} \qquad \Longrightarrow \qquad \begin{cases} 8+1=8y+a,\\ y^2=1 \end{cases}$$

Тогда при $y=1$ получаем: $$9=8\cdot 1+a,$$ $$a=1.$$

При $y=-1$ получаем: $$9=8\cdot (-1)+a,$$ $$a=17.$$

Необходимо понять, действительно ли при данных значениях параметра $a$ система будет иметь единственное решение.

Подставим $a=17$ в первое уравнение системы. Пусть $x \in (0;1]$, тогда $|x|=x$. Получим: $$8\cdot 2^x+7x+1=8y+7x^2+17,$$ $$8\cdot 2^x+7x=8y+7x^2+16.$$

Заметим, что при $x=1$ получаем: $$16+7=8y+7+16,$$ $$8y=0,$$ $$y=0.$$

Значит, при $a=17$ первому уравнению системы удовлетворяет точка $(1;0)$, которая, в свою очередь, лежит на окружности. Следовательно, решением системы будет являться также точка $(-1;0)$. Значит, при $a=17$ система имеет более одного решения.

Подставим $a=1$ в первое уравнение системы. Пусть $x \in (0;1]$, тогда $|x|=x$. Получим: $$8\cdot 2^x+7x+1=8y+7x^2+1,$$ $$y=\frac{8\cdot 2^x+7x-7x^2}{8}=2^x+\frac78x-\frac78x^2.$$

Так как $x \in (0;1]$, то $\frac78x \ge \frac78x^2$, следовательно, $$\frac78x-\frac78x^2 \ge 0.$$ При этом $2^x>1$. Тогда $$y=2^x+\frac78x-\frac78x^2>1.$$

Значит, у графика первого уравнения нет точек пересечения с окружностью при $x \in (0;1]$, а по симметрии и при $x \in [-1;0)$ тоже нет. Остается единственная точка пересечения с окружностью — точка $(0;1)$.

Следовательно, $a=1$ является ответом.

Ответ: $$a \in \{1\}.$$