Тип 18 № 18154

Заметим, что второе уравнение системы задает окружность, которая симметрична относительно оси ординат, так как при замене $x$ на $-x$ уравнение не меняется. При этом данная окружность имеет радиус $1$, следовательно, она определена при $x \in [-1;1]$.

Рассмотрим первое уравнение системы. Заметим, что график этого уравнения также симметричен относительно оси ординат, так как при замене $x$ на $-x$ уравнение не меняется.

Из вышесказанного получаем, что если график первого уравнения имеет точку пересечения с окружностью при $x \in (0;1]$, то будет существовать еще одна точка пересечения при $x \in [-1;0)$. Значит, существует единственный случай, когда система может иметь единственное решение: если точка пересечения графиков имеет абсциссу $x=0$. Подставим данное значение в систему: $$\begin{cases} 5\cdot 2^{|0|}+6\cdot |0|+7=5y+6\cdot 0^2-a\\ 0^2+y^2=1 \end{cases}$$ $$\begin{cases} 5+7=5y-a\\ y^2=1 \end{cases}$$

Тогда при $y=1$ получаем: $$12=5\cdot 1-a$$ $$a=-7$$

При $y=-1$ получаем: $$12=5\cdot (-1)-a$$ $$a=-17$$

Необходимо понять, действительно ли при данных значениях параметра $a$ система будет иметь единственное решение. Подставим $a=-17$ в первое уравнение системы. Пусть $x \in (0;1]$, тогда $|x|=x$. Получим: $$5\cdot 2^x+6x+7=5y+6x^2+17$$ $$5\cdot 2^x+6x=5y+6x^2+10$$

Заметим, что при $x=1$ получаем: $$10+6=5y+6+10$$ $$5y=0$$ $$y=0$$

Значит, при $a=-17$ первому уравнению системы удовлетворяет точка $(1;0)$, которая, в свою очередь, лежит на окружности. Следовательно, решением системы также будет являться точка $(-1;0)$. Значит, при $a=-17$ система имеет более одного решения.

Подставим $a=-7$ в первое уравнение системы. Пусть $x \in (0;1]$, тогда $$5\cdot 2^x+6x+7=5y+6x^2+7$$ $$y=\frac{5\cdot 2^x+6x-6x^2}{5}=2^x+\frac65x-\frac65x^2$$

Так как $x \in (0;1]$, то $\frac65x \ge \frac65x^2$, следовательно, $\frac65x-\frac65x^2 \ge 0$. При этом $2^x>1$. Тогда $$y=2^x+\frac65x-\frac65x^2>1$$

Значит, у графика первого уравнения есть единственная точка пересечения с окружностью — точка $(0;1)$, следовательно, $a=-7$ является ответом.

Ответ: $$a \in \{-7\}$$