Тип 18 № 18155

Известно, что значение параметра $a$ таково, что система уравнений $\begin{cases} 3^{\ln y}=27^{|x|}\\ \log_3(ax^2y^2+3)=\log_3(a^2+x^4y^2)+1 \end{cases}$ имеет единственное решение. Найдите это значение параметра $a$ и решите систему при найденном значении параметра.

Решение:

Из первого уравнения системы получаем $3^{\ln y}=27^{|x|}\Leftrightarrow y=e^{3|x|}.$

Заметим, что если пара $(x;y)$ — решение системы, то пара $(-x;y)$ — также решение этой системы. Поскольку система имеет единственное решение, этим решением может быть только пара $(0;y)$ . Таким образом, $x=0$ и из второго уравнения получаем: $\log_3 3=\log_3(a^2+1)\Leftrightarrow a^2=1 \Leftrightarrow \begin{cases} a=1,\\ a=-1. \end{cases}$

Проверим, действительно ли система при найденных значениях $a$ имеет единственное решение.

Если $a=-1$ , то второе уравнение системы имеет единственное решение: $\log_3(-x^2y^2+3)=\log_3(1+x^4y^2)+1 \Leftrightarrow -x^2y^2+3=3+3x^4y^2 \Leftrightarrow y^2(3x^4+x^2)=0 \overset{y>0}{\Leftrightarrow} x=0.$

Тогда $y=e^0=1$ , а значит, пара $(0;1)$ является единственным решением системы.

Если $a=1$ , то второе уравнение системы имеет три решения: $\log_3(x^2y^2+3)=\log_3(1+x^4y^2)+1 \Leftrightarrow x^2y^2+3=3+3x^4y^2$ $\Leftrightarrow y^2(3x^4-x^2)=0 \overset{y>0}{\Leftrightarrow} x^2(3x^2-1)=0 \Leftrightarrow \begin{cases} x=0,\\ x=\dfrac{1}{\sqrt3},\\ x=-\dfrac{1}{\sqrt3}. \end{cases}$

Каждому из найденных значений $x$ соответствует значение $y=e^{3|x|}$ , а потому система имеет три решения.

Ответ: система имеет единственное решение $(0;1)$ при $a=-1$ .