Тип 18 № 18562

Заметим, что уравнение можно преобразовать в $$(4x^2)^3+4x^2=(3x+a)^3+(3x+a).$$

Если принять $4x^2=t$, $3x+a=z$, то уравнение равносильно $f(t)=f(z)$, где $f(p)=p^3+p$ — строго возрастающая (а значит, строго монотонная) функция, так как равна сумме двух возрастающих функций. Для строго монотонной функции $f(p)$ равенство $f(t)=f(z)$ равносильно равенству $t=z$, следовательно, получаем $$4x^2=3x+a \iff 4x^2-3x-a=0.$$

Получили квадратное уравнение, которое не имеет решений в том случае, если его дискриминант отрицательный: $$D=9+16a<0 \iff a<-\frac{9}{16}.$$

Ответ: $$a\in\left(-\infty;\,-\frac{9}{16}\right).$$