Тип 18 № 18777

Сделаем замену $t=3^{\cos x}$. Так как $\cos x\in[-1;1]$, то $t\in\left[\dfrac{1}{3};3\right]$.

Тогда получим уравнение $$(t-1)a^2-(t+1)a-2t=0$$

Следовательно, нужно найти те $a$, при которых уравнение будет иметь хотя бы одно решение $t$ из отрезка $\left[\dfrac{1}{3};3\right]$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые относительно $t$: $$a^2t-a^2-at-a-2t=0$$ $$t(a^2-a-2)=a^2+a$$ $$t(a+1)(a-2)=a(a+1)$$ Рассмотрим несколько случаев в зависимости от значений параметра $a$.

1. $a=-1$. Тогда уравнение примет вид $0=0$. Решением данного уравнения являются все $t$. Следовательно, этот случай нам подходит.

2. $a=2$. Тогда уравнение примет вид $0=6$. Такое уравнение не имеет решений. Следовательно, этот случай нам не подходит.

3. $a\ne -1;2$. Тогда имеем: $$t=\frac{a(a+1)}{(a+1)(a-2)}=\frac{a}{a-2}$$

Нам нужно, чтобы $t\in\left[\dfrac{1}{3};3\right]$. Следовательно, $$\frac{1}{3}\le \frac{a}{a-2}\le 3 \quad \Leftrightarrow \quad a\in(-\infty;-1]\cup[3;+\infty)$$

Так как в данном случае $a\ne -1$, получаем $a\in(-\infty;-1)\cup[3;+\infty)$.

Объединяя подходящие случаи, получаем окончательно $$a\in(-\infty;-1]\cup[3;+\infty)$$

Ответ: $$a\in(-\infty;-1]\cup[3;+\infty)$$