Тип 18 № 18779

Сделаем замену $t=x^2-6|x|+a=(|x|-3)^2+a-9$. Тогда уравнение примет вид $$t^2+10t+26=\cos\frac{16\pi}{a} \quad \Leftrightarrow \quad (t+5)^2=\cos\frac{16\pi}{a}-1$$

Так как $\cos\alpha\in[-1;1]$, то $\cos\alpha-1\in[-2;0]$. Следовательно, правая часть равенства $\le 0$. Левая же часть равенства как полный квадрат $\ge 0$. Следовательно, равенство возможно только в том случае, когда обе части равенства равны $0$: $$\begin{cases} \cos\dfrac{16\pi}{a}=1,\\ t=-5 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \dfrac{16\pi}{a}=2\pi n,\; n\in\mathbb{Z},\\ (|x|-3)^2=4-a \end{cases} \qquad (*)$$

Уравнение $A^2=B$ имеет $0$, $1$ или $2$ решения. Уравнение $|C|=D$ также имеет $0$, $1$ или $2$ решения. Следовательно, уравнение $(*)$ может иметь от $0$ до $4$ решений.

$2$ решения оно имеет, если

• 1. квадратное уравнение имеет два решения, а из получаемых двух модульных уравнений одно имеет два решения, а другое — не имеет решений. Это выполняется, если $4-a>0$, откуда $|x|=3\pm\sqrt{4-a}$ и $3+\sqrt{4-a}>0$, $3-\sqrt{4-a}<0$. Получаем $a<-5$.
• 1. квадратное уравнение имеет одно решение, а получаемое модульное уравнение имеет два решения. Это выполняется, если $4-a=0$, откуда $|x|=3$, тогда $x=\pm 3$. Следовательно, $a=4$.

  Ответ: $$a\in\{-8;4\}$$