Тип 18 № 18780

Заметим, что уравнение всегда имеет как минимум один корень $x=2$.

Заметим, что корни уравнения должны удовлетворять условию $2-x\ge 0$.

Решим уравнение $4^x-3\cdot 2^x+3a-a^2=0$. Если сделать замену $2^x=t$, причем $t>0$, то уравнение примет вид $$t^2-3t+a(3-a)=0.$$

По теореме Виета корнями (необязательно различными) будут $$t_1=a \quad \text{и} \quad t_2=3-a.$$

То есть $2^x=a$ и $2^x=3-a$. Заметим, что если, например, $a\le 0$, то уравнение $2^x=a$ не имеет решений. В противном случае оно будет иметь решение $x=\log_2 a$.

Число $x=2$ будет являться решением уравнений $2^x=a$ или $2^x=3-a$, если $a=4$ или $3-a=4$ соответственно.

Таким образом, исходное уравнение $$\left(4^x-3\cdot 2^x+3a-a^2\right)\cdot\sqrt{2-x}=0$$ будет иметь два различных корня в следующих двух случаях.

1. $a\ne 3-a$. Тогда либо один из корней $a$ или $3-a$ должен оказаться $\le 0$, давая противоречие с условием $t>0$; либо один из корней $a$ или $3-a$ должен оказаться $=4$, поскольку при $x>4$ он не будет удовлетворять условию $2-x\ge 0$, а при $=4$ будет совпадать с уже имеющимся корнем $x=2$. При этом другой корень должен оказаться $>0$ и $<4$.

Это условие задается совокупностью: $$\left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{aligned} \left[ \begin{aligned} &a\le 0\\ &a\ge 4 \end{aligned} \right.\\ &0<3-a<4 \end{aligned} \right.\\[1.5ex] \left\{ \begin{aligned} \left[ \begin{aligned} &3-a\le 0\\ &3-a\ge 4 \end{aligned} \right.\\ &0<a<4 \end{aligned} \right. \end{gathered} \right.$$

Решением совокупности будут $$a\in(-1;0]\cup[3;4)$$

1. $a=3-a$, $a>0$ и $a<4$. Следовательно, $a=1{,}5$.

Объединяя случаи, получаем окончательно $$a\in(-1;0]\cup\{1{,}5\}\cup[3;4)$$

Ответ: $$a\in(-1;0]\cup\{1{,}5\}\cup[3;4)$$