Тип 18 № 18971

Преобразуем уравнение $$x^{6}+3x^{2}=(8x-5a)^{3}+3(8x-5a).$$

Рассмотрим функцию $f(t)=t^{3}+3t$.

Запишем наше уравнение в виде: $f(x^{2})=f(8x-5a)$.

Функция $f(t)=t^{3}+3t$ непрерывна и нечетная. Ее производная $f(t)=3t^{2}+3$ всегда положительна, значит, $f(t)$ монотонно возрастает, и каждое свое значение принимает ровно один раз.

Поэтому уравнение $f(x^{2})=f(8x-5a)$ равносильно уравнению $x^{2}=8x-5a$. Это квадратное уравнение.

Соберем все его слагаемые в левую часть. Уравнение $x^{2}-8x+5a=0$ не имеет корней, когда его дискриминант отрицателен, $64-20a<0$, а $a>\dfrac{16}{5}$.

Ответ: $a>\dfrac{16}{5}$.