Тип 12 № 19894

Найдём производную заданной функции:

$$y'=(x^2+18x-18)'e^x+(x^2+18x-18)(e^x)'= (x^2+18x-18)e^x+(2x+18)e^x= (x^2+20x)e^x.$$

Найдём нули производной на заданном отрезке: $$\begin{cases} (x^2+20x)e^x=0, \end{cases} \ \Leftrightarrow\ \begin{cases} x(x+20)=0, \end{cases} \ \Leftrightarrow\ \begin{cases} x=0,\\ x=-20, \end{cases} \ \Leftrightarrow\ x=0.$$

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке $x=0$ заданная функция имеет минимум, являющийся её наименьшим значением на заданном отрезке. Найдём это наименьшее значение:

$$y(0)=(-18)\cdot e^0=-18.$$