Тип 1 № 19958

$$\text{Покажем, что сумма периметров отсе-ченнных треугольников равна сумме длин сторон тре-угольника }ABC,\ \text{то есть равна его периметру.}$$ $$\text{Отрезки касательных, проведенных к окружно-сти из точек }K,\ H,\ O,\ F,\ N,\ M\ \text{соответственно равны друг другу (см. рис., равные отрезки выде-лены одинаковыми цветами). Следовательно,}$$ $$P_{BKM}=BQ+BR,\qquad P_{CNO}=CQ+CS,\qquad P_{AFN}=AS+AR.$$ $$\text{Сложим правые части полученных равенств:}$$ $$(BQ+BR)+(CQ+CS)+(AS+AR)=AB+BC+CA=P_{ABC}.$$ $$\text{Таким образом,}$$ $$P_{ABC}=P_{BKM}+P_{CNO}+P_{AFN}=24.$$ $$\text{Ответ: }24.$$