Вписанные окружности

По теореме Пифагора:

$$AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{2(2 + \sqrt2)^2} = \sqrt2(2 + \sqrt2) = 2\sqrt2 + 2$$

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник связан со сторонами этого треугольника следующей формулой:

$$r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{2(2 + \sqrt2) - 2\sqrt2 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

По теореме Пифагора:

$$AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$$

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник связан со сторонами этого треугольника следующей формулой:

$$r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{AC + BC - AB}{2} = \frac{4 + 3 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Радиус окружности, вписанной в треугольник связан с его площаью следующей формулой:

$$S = p\cdot r$$

где $p$ – это полупериметр треугольника.

Вычислим полупериметр:

$$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = 8$$

Вычислим площадь треугольника с помощью формулы Герона:

$$S_{ABC} = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)} = \sqrt{8\cdot3\cdot3\cdot2} = 12$$

Найдём радиус вписанной окружности:

$$r = \frac{S}{p} = \frac{12}{8} = 1,5$$

Обозначим за $M$ и $H$ точки касания прямых $AC$ и $AB$ с окружностью.

$AM$ и $AH$ – отрезки касательных, проведённых из одной точки, следовательно они равны.

$MC = 5 \quad AM = 3$

Найдём периметр треугольника $ABC$:

$$P_{ABC} = AC + BC + AB = 2\cdot AC + 2\cdot AH = 2(5 + 3) + 2\cdot3 = 22$$

Суммы противоположных сторон трапеции в которую вписана окружность равны.

$$AB + DC = AD + CB = 3 + 5 = 8$$

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

$$\frac{AB + DC}{2} = \frac{8}{2} = 4$$