Тип 12 № 20007

Найдем производную заданной функции:

$$y'=(x^2-15x+15)'e^{x+3}+(x^2-15x+15)(e^{x+3})'= (2x-15)e^{x+3}+(x^2-15x+15)e^{x+3}=(x^2-13x)e^{x+3}=x(x-13)e^{x+3}.$$

Найдем нули производной:

$$x(x-13)e^{x+3}=0 \Leftrightarrow \begin{cases} x_1=0,\\ x_2=13. \end{cases}$$

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума $x=0$.