Тип 18 № 20085

Решение.

Разложим на множители: $$x^3-x^2-4=(x-2)(x^2+x+2),$$ $$x^4-4x^2=x^2(x^2-4)=x^2(x-2)(x+2).$$

Тогда исходное уравнение равносильно $$(x-2)a^2-(x-2)(x^2+x+2)a+x^2(x-2)(x+2)=0,$$ $$(x-2)\bigl(a^2-(x^2+x+2)a+x^2(x+2)\bigr)=0.$$

Рассмотрим квадратный относительно $a$ трехчлен $$a^2-(x^2+x+2)a+x^2(x+2).$$

По теореме Виета его корни $a_1,a_2$, если они существуют, должны удовлетворять условиям $$a_1+a_2=x^2+x+2,$$ $$a_1\cdot a_2=x^2(x+2).$$

Заметим, что числа $x^2$ и $x+2$ как раз имеют такую сумму и такое произведение: $$x^2+(x+2)=x^2+x+2,$$ $$x^2(x+2)=x^2(x+2).$$

Следовательно, по теореме Виета $$a_1=x^2, \qquad a_2=x+2.$$

Значит, $$a^2-(x^2+x+2)a+x^2(x+2)=(a-x^2)(a-x-2).$$

Тогда исходное уравнение равносильно $$(x-2)(a-x^2)(a-x-2)=0.$$

Построим в плоскости $xOa$ графики $$x=2,\qquad a=x^2,\qquad a=x+2.$$

Заметим, что все три графика $x=2$, $a=x^2$, $a=x+2$ пересекаются в точке $(2;4)$.

Из рисунка видно, что ровно два различных корня получаются при $a<0$ и при $a=4$.

Следовательно, $$a\in(-\infty;0)\cup\{4\}.$$

Ответ: $(-\infty;0)\cup\{4\}$.