a) По формуле приведения и формуле косинуса разности:
sin ( π 2 + x ) = cos x \sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x sin ( 2 π + x ) = cos x cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β
Получаем:
2 ( cos x ⋅ cos π 4 + sin x ⋅ sin π 4 ) − 2 2 cos x = 0 2\left(\cos x\cdot \cos\frac{\pi}{4}+\sin x\cdot \sin\frac{\pi}{4}\right)-2\sqrt{2}\cos x=0 2 ( cos x ⋅ cos 4 π + sin x ⋅ sin 4 π ) − 2 2 cos x = 0 2 ( cos x ⋅ 2 2 + sin x ⋅ 2 2 ) − 2 2 cos x = 0 2\left(\cos x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\sin x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)-2\sqrt{2}\cos x=0 2 ( cos x ⋅ 2 2 + sin x ⋅ 2 2 ) − 2 2 cos x = 0 − 2 cos x + 2 sin x = 0 -\sqrt{2}\cos x+\sqrt{2}\sin x=0 − 2 cos x + 2 sin x = 0 sin x − cos x = 0 \sin x-\cos x=0 sin x − cos x = 0
Заметим, что cos x ≠ 0 \cos x\neq 0 cos x = 0 sin x = 0 \sin x=0 sin x = 0 tg x = 1 \tg x=1 tg x = 1 x = π 4 + π k , k ∈ Z x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z x = 4 π + π k , k ∈ Z
б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку
[ π 2 ; 2 π ] , \left[\frac{\pi}{2};2\pi\right], [ 2 π ; 2 π ] ,
Следовательно, на отрезке
[ π 2 ; 2 π ] , \left[\frac{\pi}{2};2\pi\right], [ 2 π ; 2 π ] , 5 π 4 . \frac{5\pi}{4}. 4 5 π .
Ответ:
a) π 4 + π k , k ∈ Z \frac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb Z 4 π + π k , k ∈ Z
б) 5 π 4 \frac{5\pi}{4} 4 5 π
