Тип 18 № 20098

Разложим на множители: $$x^3+2x^2+x=x(x+1)^2,$$ $$x^4+2x^3-2x-1=(x+1)^3(x-1).$$

Тогда исходное уравнение равносильно $$(x+1)a^2+x(x+1)^2a+(x+1)^3(x-1)=0,$$ $$(x+1)\bigl(a^2+x(x+1)a+(x+1)^2(x-1)\bigr)=0.$$

Рассмотрим квадратный трехчлен $$a^2+x(x+1)a+(x+1)^2(x-1).$$

По теореме Виета его корни $a_1,a_2$ должны удовлетворять условиям $$a_1+a_2=-x(x+1),$$ $$a_1\cdot a_2=(x+1)^2(x-1).$$

Заметим, что числа $1-x^2$ и $-x-1$ как раз имеют такую сумму и такое произведение: $$(1-x^2)+(-x-1)=-x(x+1),$$ $$(1-x^2)(-x-1)=(x+1)^2(x-1).$$

Следовательно, по теореме Виета $$a_1=1-x^2, \qquad a_2=-x-1.$$

Значит, $$a^2+x(x+1)a+(x+1)^2(x-1)=(a+x+1)(a+x^2-1).$$

Тогда исходное уравнение равносильно $$(x+1)(a+x+1)(a+x^2-1)=0.$$

Построим в плоскости $xOa$ графики $$x=-1,\qquad a=1-x^2,\qquad a=-x-1.$$

Из рисунка видно, что ровно два различных корня получаются при $a=0$ и при $a>1$. Следовательно,

$$a\in\{0\}\cup(1;+\infty).$$

Ответ: $\{0\}\cup(1;+\infty)$.