Тип 18 № 20142

Преобразуем первое уравнение: $$x^2+y^2-2a(x+2y)=5-5a^2.$$ $$x^2+y^2-2ax-4ay+a^2+4a^2=5$$ $$(x-a)^2+(y-2a)^2=5.$$

Оно задаёт окружность с центром в точке $O(a;2a)$ и радиусом $\sqrt5$. Найдём траекторию центра окружности: $$\begin{cases} x=a\\ y=2x \end{cases} \Rightarrow y=2x.$$

Так как первое уравнение исходной системы задаёт окружность с центром в произвольной точке прямой $y=2x$ и радиусом $\sqrt5$, второе уравнение исходной системы задаёт прямую $$y=-\frac12x.$$

Нас интересуют значения $a$, при которых окружность имеет точки пересечения с прямой $y=-\frac12x$, значит ключевыми положениями на рисунке для нас будут касания окружности с этой прямой.

Заметим, что при $a=\pm\frac12$ прямая $\;y=-\frac12x\;$ касается окружности в точке $A$. Если её центр находится на расстоянии, равном радиусу окружности, от точки пересечения прямых — начала координат. Изобразим случай касания на картинке, начало координат обозначим через $A$, центры окружностей в случаях касания — через $O_1$ и $O_2$.

Мы поняли, что точки $O_1(a_1;2a_1)$ и $O_2(a_2;2a_2)$ такие, что $$AO_1=AO_2=\sqrt5.$$ Очевидно также, что $a_1>0$ и $a_2=-a_1$. Найдём $a_1$, записав условие на расстояние между $A$ и $O_1$: $$\sqrt5=\rho(O_1;A)=\sqrt{(a_1-0)^2+(2a_1-0)^2} =\sqrt{5a_1^2}$$

Так как $a_1>0$, то получаем $a_1=1$, $a_2=-1$. Очевидно, что при любых $a\in[-1;1]$ окружность будет иметь пересечения с прямой $y=-\frac12x$, а при любых $a$, для которых $|a|>1$, не будет.

Получаем ответ: $$a\in[-1;1].$$

Ответ: $a\in[-1;1]$.