Тип 15 № 20149

Найдем ОДЗ:

$$\begin{cases} x^2-7x+12>0,\\ x-4\ne 0,\\ \dfrac{(x-3)^7}{x-4}>0 \end{cases}$$

$$x\in(-\infty;3)\cup(4;+\infty)$$

На ОДЗ преобразуем исходное неравенство:

$$\log_3\left(x^2-7x+12\right)^7-\log_3 3^8-\log_3\frac{(x-3)^7}{x-4}\le 0$$

$$\log_3\frac{\left(x^2-7x+12\right)^7}{3^8\cdot\dfrac{(x-3)^7}{x-4}}\le 0$$

$$\log_3\frac{(x-3)^7(x-4)^7}{3^8\cdot\dfrac{(x-3)^7}{x-4}}\le 0$$

На ОДЗ последнее неравенство равносильно неравенству

$$\log_3\frac{(x-4)^8}{3^8}\le 0$$

$$8\cdot\log_3\frac{|x-4|}{3}\le 0$$

$$\log_3\frac{|x-4|}{3}\le 0$$

По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

$$(3-1)\cdot\left(\frac{|x-4|}{3}-1\right)\le 0$$

$$\frac{|x-4|-3}{3}\le 0$$

$$|x-4|\le 3$$

$$-3\le x-4\le 3$$

$$1\le x\le 7$$

Пересекая с ОДЗ, получаем

$$x\in[1;3)\cup(4;7].$$

Ответ:

$$[1;3)\cup(4;7]$$