Тип 15 № 20151

Пусть $t=3^x>0$. Тогда имеем

$$t-8-\frac{6t-19}{t^2-5t+6}\le \frac{1}{t-3}$$

$$\frac{(t-8)(t-2)(t-3)-(6t-19)-(t-2)}{(t-2)(t-3)}\le 0$$

$$\frac{(t-3)\bigl((t-8)(t-2)-7\bigr)}{(t-2)(t-3)}\le 0$$

$$\frac{(t-3)(t^2-10t+9)}{(t-2)(t-3)}\le 0$$

$$\frac{(t-3)(t-1)(t-9)}{(t-2)(t-3)}\le 0$$

Если $t\ne 3$, то $x\ne 1$. Тогда поделим на $(t-3)$ числитель и знаменатель:

$$\frac{(t-1)(t-9)}{t-2}\le 0$$

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Значит, $t\in(-\infty;1]\cup(2;3)\cup(3;9]$.

Сделаем обратную замену:

$$\left[ \begin{array}{l} 3^x\le 1 \\ 3^x>2 \\ 3^x\le 9 \\ 3^x\ne 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x\le 0 \\ x>\log_3 2 \\ x\le 2 \\ x\ne 1 \end{array} \right.$$

$$x\in(-\infty;0]\cup(\log_3 2;1)\cup(1;2]$$

Ответ:

$$(-\infty;0]\cup(\log_3 2;1)\cup(1;2]$$