Тип 16 № 20161

Каждый год банк увеличивает сумму на счету на $20\%$, то есть в $1,2$ раза. Если же фонд все еще держит акции, то их цена после $t$-ого года увеличивается в

$$\frac{(t+1)^2}{t^2}=\left(\frac{t+1}{t}\right)^2=\left(1+\frac{1}{t}\right)^2 \text{ раз}$$

Этот коэффициент уменьшается с ростом $t$. Значит, если при каком-то $t$ он стал меньше $1,2$, то в каждый следующий год, начиная с $(t+1)$-ого, вклад в банке будет приносить большую прибыль. В то же время до $(t+1)$-ого года акции будут приносить большую прибыль. Значит, нам нужно найти такое значение $t$, при котором

$$\frac{(t+1)^2}{t^2}\le 1,2<\frac{t^2}{(t-1)^2}$$

То есть нужно найти такой год, после которого акции вырастут больше чем в $1,2$ раза, но после следующего — меньше чем в $1,2$ раза. Заметим, что

$$\frac{11^2}{10^2}=\frac{121}{100}=1,21>1,2$$

Но уже $\frac{12^2}{11^2}<1,2$, так как $121\cdot1,2=145,2>144$. Таким образом,

$$\frac{12^2}{11^2}<1,2<\frac{11^2}{10^2}$$

Значит, акции нужно продать в конце 11-ого года.

Ответ: В конце 11-ого года