Тип 13 № 20500

а) Сделаем замену

$$t=\frac{x-2}{2}-\frac{3}{x-2},$$ возведём обе части в квадрат:

$$t^2=\frac{(x-2)^2}{4}-2\cdot\frac{x-2}{2}\cdot\frac{3}{x-2}+\frac{9}{(x-2)^2} =\frac{(x-2)^2}{4}-3+\frac{9}{(x-2)^2};$$ тогда

$$\frac{(x-2)^2}{4}+\frac{9}{(x-2)^2}=t^2+3.$$ Имеем:

$$2(t^2+3)=7t+10 \Leftrightarrow 2t^2-7t-4=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=-\frac12,\\ t=4. \end{array} \right.$$

Вернемся к исходной переменной. Если $t=-\frac12$, то

$$\frac{x-2}{2}-\frac{3}{x-2}=-\frac12 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ne 2,\\ (x-2)^2-6=-(x-2) \end{array} \right. \Leftrightarrow x^2-3x-4=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-1,\\ x=4. \end{array} \right.$$

Если $t=4$, то

$$\frac{x-2}{2}-\frac{3}{x-2}=4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ne 2,\\ (x-2)^2-6=8(x-2) \end{array} \right. \Leftrightarrow x^2-12x+14=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=6-\sqrt{22},\\ x=6+\sqrt{22}. \end{array} \right.$$

б) Выясним, какие из найденных корней принадлежат отрезку $[-2;2]$. В силу неравенств

$$0<6-\sqrt{22}<6-4=2 \quad \text{и} \quad 6+\sqrt{22}>6+4=10>2$$ из найденных корней уравнения заданному отрезку принадлежат только числа $-1$ и $6-\sqrt{22}$.

Ответ: а) $\{-1;\ 4;\ 6-\sqrt{22};\ 6+\sqrt{22}\}$; б) $-1;\ 6-\sqrt{22}$.