Тип 18 № 20578

Решение:

Система определена при выполнении условия $y \geq x - 8$.

Тогда система равносильна: $$\begin{cases} y \geq x - 8\\ \left[\begin{aligned} &xy - x + 8 = 0\\ &y - x + 8 = 0 \end{aligned}\right.\\ y = 2x + a \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y \geq x - 8\\ \left[\begin{aligned} &y= 1 - \frac{8}{x}\\ &y = x - 8 \end{aligned}\right.\\ y = 2x + a \end{cases}$$

Полученная система имеет ровно два решения, когда $y=2x + a$ - семейство прямых имеет с графиком системы ровно две общие точки. Найдём граничные точки и определим количество решений для всех $a$:

До положения $1$ прямая $y = 2x + a$ будет пересекать только прямую $y = x - 8$, следовательно система будет иметь ровно 1 решение, что нам не подходит.

От положения $1$ не включительно до положения $2$ включительно прямая $y = 2x + a$ будет пересекать прямую $y = x - 8$ и правую ветвь гиперболы $y = 1 - \frac{8}{x}$, следовательно система будет иметь ровно 2 решения, что нам подходит.

В положении $2$ прямая $y = 2x + a$ пересекает общую точку пересечения правой ветви гиперболы и прямой $y = x - 8$, что дает нам ровно 2 решения.

От положения $2$ не включительно до положения $3$ не включительно прямая $y = 2x + a$ будет пересекать правую ветвь гиперболы в двух точках и пересекать прямую $y = x - 8$, что даст нам 3 решения системы.

В положении $3$ прямая $y = 2x + a$ будет касаться правой ветви гиперболы и пересекать прямую $y = x - 8$, что даст нам ровно 2 решения.

От положения $3$ не включительно до положения $4$ не включительно прямая $y = 2x + a$ будет пересекать только прямую $y = x - 8$, что даст нам ровно 1 решение.

В положении $4$ прямая $y = 2x + a$ будет касаться левой ветви гиперболы и пересекать прямую $y = x - 8$, что даст нам ровно 2 решения системы.

От положения $4$ не включительно и выше прямая $y = 2x + a$ будет пересекать левую ветвь гиперболы в двух точках и прямую $y = x - 8$, что будет давать нам 3 решения.

Найдём значения параметра в граничных точках:

Найдём значения параметра в граничных точках:

1

$$y = 2x + a \Leftrightarrow 0 = 2\cdot8 + a \Leftrightarrow a = -16$$

2

$$-7 = 2\cdot1 + a \Leftrightarrow a = -9$$

3

$$2x + a = 1 - \frac{8}{x} \Leftrightarrow \frac{2x^2+ ax- x + 8 }{x} = 0 \Leftrightarrow \frac{2x^2 + x(a - 1) + 8}{x} = 0$$ Когда данное уравнение будет иметь ровно 1 решение, мы получим значение параметра обеспечивающее $$D = 0 \Leftrightarrow (a - 1)^2 - 64 = 0 \Leftrightarrow (a - 9)(a + 7) = 0 \Rightarrow$$ $$\Rightarrow a = 9 \quad \text{или} \quad a = -7$$

Значение $a = -7$ соответствует положению $3$, а значение $a = 9$ соответствует положению $4$.

Следовательно, получаем ответ: $$a \in (-16; -9] \cup \{-7\} \cup \{9\}$$