Тип 15 № 20582

Решение:

$$(*) \begin{cases} x + 3 > 0 \\ x + 2 > 0 \\ x^2 + 6x + 9 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -3 \\ x > -2 \\ (x + 3)^2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -2 \\ x \neq -3 \end{cases} \Rightarrow x \in (-2; +\infty)$$

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов: $$0.25 = 4^{-1} \Rightarrow \log_{0.25}(x + 3) = -\log_4(x + 3)$$ $$\log_{0.25}^2(x + 3) = (\log_4(x + 3))^2$$ $$\log_4(x^2 + 6x + 9) = \log_4((x + 3)^2) = 2\log_4|x + 3| = 2\log_4(x + 3)$$

Подставим в исходное неравенство: $$((\log_4(x + 3))^2 - 2\log_4(x + 3) + 1) \cdot \log_4(x + 2) \leq 0$$ $$(\log_4(x + 3) - 1)^2 \cdot \log_4(x + 2) \leq 0$$

Применим метод рационализации: $$(\log_4(x + 3) - \log_4 4)^2 \cdot (\log_4(x + 2) - \log_4 1) \leq 0$$ $$\left(\frac{x + 3}{4} - 1\right)^2 \cdot (x + 2 - 1) \leq 0$$ $$(x - 1)^2 \cdot (x + 1) \leq 0$$

Решим неравенство методом интервалов:

Решение неравенства: $$x \in (-\infty; -1] \cup \{1\}$$

Учитывая ограничения $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in (-2; -1] \cup \{1\}$$

Ответ: $x \in (-2; -1] \cup \{1\}$